1. 正态分布的定义
正态分布（Normal Distribution），又称为高斯分布（Gaussian Distribution） ，是一种在统计学和概率论中最重要的连续概率分布。它广泛应用于自然科学、社会科学、工程、金融等领域。
正态分布的概率密度函数（PDF）如下：
\[f(x|\mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}
\]
其中：
\(x\)：随机变量，表示数据点
\(\mu\)：均值（mean），即数据的中心
\(\sigma^2\)：方差（variance），表示数据的离散程度
\(\sigma\)（标准差，standard deviation）：\(\sigma = \sqrt{\sigma^2}\)
2. 正态分布的参数解释
在正态分布中，有两个重要的参数：均值 \(\mu\) 和 方差 \(\sigma^2\)。
（1）均值 \(\mu\)
决定正态分布的中心位置。
直观来说，它表示数据的平均值，即数据的集中趋势。
若 \(\mu\) 变大，整个分布会向右平移；若 \(\mu\) 变小，分布会向左平移。
（2）方差 \(\sigma ^2\) 与标准差 $\sigma $
决定正态分布的宽度（离散程度）。
方差越大（即标准差越大），数据的波动性越大，分布曲线越“扁平”；方差越小，数据越集中，分布曲线越“陡峭”。
标准差的影响示意：
当 \(\sigma\) 较小时，数据点更集中于均值附近，分布更窄。
当 \(\sigma\) 较大时，数据点更分散，分布更宽。
3. 正态分布的性质
正态分布有以下重要的数学性质：
（1）对称性
正态分布是关于均值 \(\mu\) 对称的，即：
\[P(X \leq \mu - c) = P(X \geq \mu + c)
\]
这意味着数据左右分布是均匀的。
（2）68-95-99.7 经验法则
对于任意正态分布：
约 68% 的数据落在 \(\mu ± \sigma\) 区间内。
约 95% 的数据落在 \(\mu ± 2\sigma\) 区间内。
约 99.7% 的数据落在 \(\mu ± 3\sigma\) 区间内。
这说明大部分数据点会集中在均值附近，离均值越远的点出现的概率越小。
（3）标准正态分布
当正态分布的均值 μ=0，标准差 σ=1 时，我们称其为标准正态分布（Standard Normal Distribution） ，记作：
\[Z \sim N(0,1)
\]
标准正态分布的概率密度函数为：
\[\phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}}
\]
其中，\(z = \frac{x - \mu}{\sigma}\) 为标准化变量。
标准正态分布的分布曲线是对称的“钟形曲线”，其均值为 0，标准差为 1，广泛用于统计推断，如计算 z-score（标准分数）。
4. 正态分布的计算
在实际应用中，我们经常需要计算某个数值 x 在正态分布中的概率。通常有以下两种方法：
（1）直接计算概率密度
使用公式：
\[f(x|\mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}
\]
（2）标准化计算
由于直接计算积分较难，我们可以使用标准正态分布表：
先计算 标准化变量（Z-score）：
\[z = \frac{x - \mu}{\sigma}
\]
然后查询标准正态分布表，获取累积分布函数（CDF）值，即：
\[P(X \leq x) = P(Z \leq z)
\]
对于非标准正态分布，可以通过变换 Z 来计算概率。
5. 应用案例
假设我们测量一批产品的重量，重量的分布服从正态分布，均值为50克，标准差为5克。我们希望可视化这些产品的重量分布，并计算重量在45到55克范围内的概率。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.size'] = 14
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Microsoft Yahei']
from scipy.stats import norm
#参数设置
mu = 50 # 均值
sigma = 5 # 标准差
#生成正态分布数据
X = np.linspace(mu - 4 * sigma, mu + 4 * sigma, 1000)
y = norm.pdf(X, mu, sigma)
#可视化正态分布
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(X, y)
plt.title('正态分布曲线')
plt.xlabel('重量(克)')
plt.ylabel('概率密度')
plt.show()